Cours de Mécanique céleste classique

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de vérifier que les crochets [x j , y k ], [x j , x k ] et [y j , y k ] ont les valeurs nécessaires à la canonicité, il faut encore
que les [t, x j ] et [t, y j ] soient les dérivées partielles d’une fonction F ∗ à déterminer et qui représente la façon
dont sera modifié l’hamiltonien par ce changement de variables. Il est donc difficile de prévoir quelle sera cette
modification au moment où l’on se fixe les fonctions f i et g i . Pour que cette modification aille dans le sens d’une
simplification, il est préférable de rechercher quelles sont les fonctions f i et g i qui aboutissent à une simplification
de l’hamiltonien voulue à l’avance. On peut arriver à ce résultat par la considération des fonctions génératrices,
qui résultent en fait du théorème 2 sur la canonicité d’un changement de variables.
En effet, pour qu’un changement de variables soit canonique, d’après les conditions (2.24) à (2.27), il suffit
par exemple que l’on ait :
∑ n
j=1 (p jdq j − y j dx j ) + (H ′ − H) dt = dG 1
ou bien ∑ n
j=1 (p jdq j + x j dy j ) + (H ′ − H) dt = dG 2 (2.29)
ou encore les relations analogues avec G 3 ou G 4 . Dans le premier cas, G 1 doit être considérée comme fonction de
l’ensemble des variables (q j , x j , t), tandis que G 2 doit s’identifier à une fonction de l’ensemble des (q j , y j , t). Les
fonctions G 1 , G 2 , G 3 et G 4 sont des fonctions à déterminer, appelées fonctions génératrices de la transformation
canonique, c’est-à-dire qu’elles permettent d’établir le lien entre les anciennes et les nouvelles variables, en
fonction de la modification H ′ − H que l’on souhaite apporter à l’hamiltonien. Prenons le cas de la fonction
G 2 (q j , y j , t) ; on a bien sûr aussi, pour une telle fonction :
dG 2 =
n∑
i=1
( ∂G2
∂q i
dq i + ∂G 2
∂y i
dy i
)
+ ∂G 2
dt (2.30)
∂t
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