Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.0.0 • Page 330 de 396
U ki est la fonction perturbatrice de la planète P k perturbée par la planète P i . Les petites quantités ɛ i = m i
m i
sont appelées masses perturbatrices et on a aussi : m 0 + m = ɛ i
k 1 + ɛ
. Dans U ki , on distingue deux termes :
k
la perturbation directe Km i /|r i − r k | issue de la loi de Newton, et la perturbation indirecte Km i (r i · r k )/|r i | 3
qui représente la partie de l’accélération d’entraînement de P 0 due à P i . Les fonctions U ki , ayant une masse
perturbatrice en facteur, sont qualifiées de perturbations d’ordre 1 des masses.
De nombreuses méthodes de perturbation ont été élaborées pour donner de ces équations des solutions formelles
plus ou moins approchées ; aucune de ces méthodes n’est universelle et chacune répond à un type particulier
de problème planétaire. Par exemple, pour les grosses planètes du système solaire, où les mouvements sont
quasi-circulaires et quasi-coplanaires, on utilise généralement la méthode de LeVerrier qui fournit les variations
des éléments osculateurs avec une durée de validité de plusieurs millénaires, ou des méthodes plus générales
donnant une solution valable sur plusieurs millions d’années. Il existe aussi des méthodes (due notamment à
Hansen, à Brouwer ou à Brumberg) qui donnent directement les perturbations des coordonnées (cartésiennes ou
sphériques) ; ces méthodes conviennent surtout au cas des petites planètes du système solaire, qui ont généralement
des excentricités et des inclinaisons plus fortes, et pour lesquelles on peut se contenter souvent d’une
solution limitée au premier ordre des masses (les perturbations d’ordre supérieur sont en effet beaucoup plus
difficiles à obtenir par ces méthodes). D’autres méthodes enfin utilisent la formulation hamiltonienne pour déterminer
avant tout les propriétés du mouvement plus que ce mouvement lui-même.
Dans ce qui suit, on va examiner essentiellement la méthode de LeVerrier qui donne pour le mouvement des
planètes une solution particulière, partiellement numérique, valable sur une durée limitée au voisinage d’une date
donnée, puis une méthode appelée “théorie générale” qui permet de développer une solution analytique formelle,
valide bien plus longtemps. On verra d’ailleurs que la méthode générale est particulièrement intéressante pour
traiter le cas des perturbations mutuelles d’un système de satellites tournant autour d’une planète. Ces méthodes
fournissent toutes deux les mouvements planétaires sous forme de variations des éléments osculateurs.
On se propose d’utiliser les éléments osculateurs (a k , e k , i k , Ω k , ϖ k , L k ), ou ceux, plus réguliers (a k , z k ,
m 0
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