Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 13.6.0 • Page 165 de 396
En effet, le produit de la série A n (e, M) ci-dessus par la série
donne :
soit :
+∞∑
B m (e, M) =
k=−∞ j=−∞
+∞∑
+∞∑
+∞∑
h=−∞ j=−∞
+∞∑
j=−∞
e |m−j| b j (e) exp ijM
e |n−k|+|m−j| a k (e) b j (e) exp i(k + j)M
e |n+j−h|+|m−j| a h−j (e) b j (e) exp ihM
Comme on a |n + j − h| + |m − j| ≥ |n + j − h + m − j| = |n + m − h| ∀j on pourra factoriser e |n+m−h| dans
le terme d’harmonique h, et donc la série de Fourier vérifie la propriété de d’Alembert de rang (n + m).
Application : On aura besoin par la suite de calculer les développements de Fourier en M des diverses puissances
de r/a, de a/r, de cos w ou de sin w, et plus généralement, ceux de ( r a
) n
exp imw où n et m sont des entiers relatifs.
On peut donc déjà prévoir que les diverses puissances de r/a et de a/r vérifient la propriété de d’Alembert
de rang zéro, tandis que exp iw vérifie, comme sin w et cos w, celle de rang 1 (en écrivant sin w = r a sin w × a r ) ;
le développement de Fourier de ( r a
) n
exp imw vérifiera donc la propriété de d’Alembert de rang m.
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