Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 13.4.0 • Page 162 de 396
Or, pour |x| < 1, on a ln(1−x) = − ∫
absolument convergent pour q < 1 :
soit :
dx
1 − x = − ∑ ∞
∫
k=0 x k dx = − ∑ ∞
n=1
iw = iE +
∞∑ q n (exp inE − exp −inE)
n
n=1
w = E + 2
∞∑ q n n
n=1
sin nE
(3.132b)
x n
n . On en déduit le développement
Exercice De (3.118) et de (3.128), on déduit finalement le développement de l’équation du centre w − M :
w − M = 2
∞∑
k=1
J k (ke)
k
sin kM + 2
∞∑
∞∑
n=1 k=1
q n
k (J k−n(ke) + J k+n (ke)) sin kM (3.133)
Remarque 1. En permutant E et w et en changeant p en 1/p, la méthode précédente donne E en fonction de w ;
la quantité q est alors changée en −q :
E = w + 2
∞∑ (−q) n
sin nw
n
n=1
Remarque 2. Les quantités X/a, Y/a, r/a, w − E, w − M, étant des fonctions continues de M, leurs développements
en série de Fourier de M sont uniformément convergents pour tout M. Les coefficients de ces séries
de Fourier sont des fonctions de l’excentricité calculables à partir des fonctions de Bessel. D’après (3.121), ces
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