Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 13.1.0 • Page 152 de 396
13. Développements en série du mouvement képlérien elliptique
Etant donné un point P animé d’un mouvement képlérien elliptique autour d’un foyer O, on cherche à représenter
ses coordonnées dans le repère propre Ou 0 v 0 du plan de son mouvement, sous forme de fonctions
explicites du temps, du demi-grand axe et de l’excentricité. On rappelle que ces coordonnées, cartésiennes ou
polaires, sont déjà connues en fonction de l’anomalie vraie w et de l’anomalie excentrique E :
X = r cos w = a (cos E − e)
Y = r sin w = a √ 1 − e 2 sin E
r = a(1 − e2 )
= a (1 − e cos E)
1 + e cos w
(√ )
1 + e
w = 2 arctan
1 − e tan E 2
(3.114)
Pour exprimer ces quantités en fonction de t, ou de manière équivalente en fonction de l’anomalie moyenne
M = n(t − t p ), il faut inverser l’équation de Kepler :
E − e sin E = M =⇒ E = f(e, M)
On se propose de construire f(e, M) puis les quantités (3.114) sous forme de développements en série des
“variables” e et M. Pour cela, on utilise la propriété des quantités X, Y , r, E − M et w − M d’être des
fonctions périodiques de w, de E ou de M, de période 2π. Ces quantités sont donc notamment développables
en séries de Fourier de M ; on va montrer que ces coefficients sont des fonctions de l’excentricité e, eux-même
développables en séries entières de e. Ensuite, sous certaines conditions, on peut changer l’ordre des termes dans
ces séries en sommant d’abord sur e, et obtenir ainsi des séries entières en e à coefficients périodiques. Chacune
de ces représentations a son intérêt. Voyons d’abord la représentation en séries de Fourier.
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