Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 14.0.0 • Page 179 de 396
analogues à celles décrites au paragraphe précédent. Au degré 3 en excentricité et inclinaison, on obtient :
ı (λ − L) =X − ¯X + 5 8 X2 − 5 8 ¯X 2 − 1 2 Y 2 + 1 2 Ȳ 2 + 13
24 X3 − 1 8 X2 ¯X
+ 1 8 X ¯X 2 − 13
24 ¯X 3 + ¯XY 2 − XY 2 + ¯XȲ 2 − XȲ 2 + O(4)
(3.149)
On peut aussi revenir à un développement de Fourier en L (tronqué au même degré en e et i) en utilisant les
relations :
X = ¯z exp ıL , ¯X = z exp −ıL , Y = ¯ζ exp ıL , Ȳ = ζ exp −ıL (3.150)
où z et ζ sont les éléments complexes définis en (3.49). On trouve :
ı (λ − L) = (¯z − 1 8 z¯z2 + z ¯ζ 2 ) exp ıL − (z − 1 8 z2¯z + ¯zζ 2 ) exp −ıL
+ ( 5 8 ¯z2 − 1 2 ¯ζ 2 ) exp 2ıL − ( 5 8 z2 − 1 2 ζ2 ) exp −2ıL
+ ( 13
24 ¯z3 − ¯z ¯ζ 2 ) exp 3ıL − ( 13
24 z3 − zζ 2 ) exp −3ıL
(3.151)
Exercice On procéderait de manière analogue pour obtenir sin φ, ou d’autres coordonnées telles que a r cos λ et a r sin λ.
On écrirait par exemple :
√
sin φ = sin i sin[(L − Ω) + (w − M)] = −ı sin(i/2) 1 − sin 2 (i/2)×
( exp ı(L − Ω) exp ı(w − M) − exp −ı(L − Ω) exp −ı(w − M))
puis on pourrait développer en utilisant de nouveau les variables (3.148) et (3.150).
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