Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 1 • section 4.4.2 • Page 54 de 396
champ de gravitation dont la valeur en un point P est :
G 1 (P ) = − Km 1 P 1 P
|P 1 P| 3 (1.36)
C’est un champ de vecteurs tous dirigés vers P 1 , dépendant de la masse m 1 placée en ce point, et calculable en
tout point P autre que P 1 . Alors, une masse m 2 est placée en un point P 2 , subit la force m 2 G 1 (P 2 ). Inversement,
P 2 ‘émet’ aussi son propre champ de gravitation : G 2 (P ) = − Km 2 P 2 P
|P 2 P| 3 , qui exerce sur m 1 en P 1 la force
m 1 G 2 (P 1 ). D’ailleurs, ces deux champs se superposent de telle sorte qu’en tout point P autre que P 1 et P 2 , on
trouve le champ de gravitation G 1 (P ) + G 2 (P ).
L’intérêt d’introduire cette notion de champ de gravitation vient de ce que ce champ vectoriel est représentable
à partir d’un champ scalaire, donc plus simple, appelé potentiel de gravitation. En effet, on vérifie aisément que
G 1 (P ) par exemple dérive du potentiel U 1 (P ) :
par la relation
U 1 (P ) = Km 1
|P 1 P|
(1.37)
G 1 (P ) = grad P (U 1 (P )) (1.38)
où grad P est l’opérateur gradient en P , qui est défini dans un repère cartésien Oijk où P a pour coordonnées
(x, y, z), par :
grad P = ∂
∂x i + ∂ ∂y j + ∂ ∂z k (1.39)
De même, U 2 (P ) = Km 2
|P 2 P| est le potentiel de gravitation en P de la masse m 2 située en P 2 , et le potentiel de
gravitation des deux masses au point P est la somme U 1 (P ) + U 2 (P ).
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