Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 12.7.0 • Page 150 de 396
Exercice Dès que r est ainsi déterminé, on peut calculer ∆ et ˙∆ par (3.111) et (3.112), puis r et ṙ par (3.106) et (3.107),
et enfin les éléments d’orbite par le formulaire décrit en §12.5.
Si le produit mixte (ρ 0 , ˙ρ 0 , ¨ρ 0 ) est nul, il faut supposer que ¨ρ ˙ 0 est connu et écrire l’équation donnant ¨r˙. On
pourra alors trouver de la même façon r et ∆ si le produit mixte (ρ 0 , ˙ρ 0 , ¨ρ ˙ 0 ) est non nul.
Remarque 1. Les valeurs de r et de ṙ que l’on détermine par la méthode précédente sont des premières approximations
des vecteurs position et vitesse héliocentriques de l’astre ; il faudrait améliorer ces valeurs approchées
en tenant compte notamment du fait que le mouvement réel de la Terre ne suit pas l’équation simplifiée
¨R = −µR/R 3 , mais subit l’influence des autres planètes et surtout de la Lune : C’est en effet d’abord le barycentre
du système Terre-Lune qui suit sensiblement un mouvement képlérien autour du Soleil ; le mouvement de
ce barycentre est ensuite perturbé par les autres planètes. Dans la détermination de R, il faut donc tenir compte
de la position de l’observateur sur la Terre par rapport à ce barycentre en utilisant les éphémérides de la Lune.
Remarque 2. Les lois de la mécanique newtonienne concernent les positions géométrique des astres à un même
instant ; or, les observations d’un astre P donnent la position de P à l’instant où la lumière a été émise par P .
Entre cet instant et l’instant de l’observation, il s’est écoulé un temps δt = ∆/c où c est la vitesse de la lumière.
Si l’on veut des positions géométriques simultanées, il suffit donc d’antidater les position et vitesse du Soleil de
δt. La valeur de ∆ obtenue en première approximation permet de calculer δt et de reprendre ensuite le calcul de
r et ∆ en utilisant R et Ṙ antidatés de δt.
Remarque 3. Les calculs décrits précédemment supposent connus ρ 0 ˙ρ 0 et ¨ρ 0 (et parfois ¨ρ ˙ 0 ) à un instant τ 0 ;
en réalité, on observe seulement des directions ρ(τ i ) à plusieurs instants τ i et l’on doit procéder à une dérivation
numérique de la fonction ρ(t). En écrivant le développement de Taylor :
ρ(τ i ) = ρ 0 + ˙ρ 0 (τ i − τ 0 ) + 1 2¨ρ 0 (τ i − τ 0 ) 2 + 1 6¨ρ ˙ 0 (τ i − τ 0 ) 3 + · · ·
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