Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 9.2.0 • Page 88 de 396
alors le nouvel hamiltonien est : H ′ = H 0 + ∂G
∂t = 0 et les nouvelles variables, définies par x i = α i =
∂β ∂G et
i
y i = β i , sont constantes.
Si l’on applique ce changement de variables à un système dont l’hamiltonien initial est H = H 0 + H 1 , le
nouvel hamiltonien est alors : H ′ = H + ∂G
∂t , soit d’après (2.41) : H′ = H 0 + H 1 + (−H 0 ) = H 1 . Les variables
canoniques (α i , β i ) qui étaient constantes pour H ′ = 0, vérifient maintenant :
˙α i = ∂H′ 1
∂β i
et ˙βi = − ∂H′ 1
∂α i
(2.42)
où H 1
′ = H 1 (c’est-à-dire H 1 exprimé en fonction des nouvelles variables). La méthode des variations des
constantes arbitraires consiste ainsi à résoudre d’abord le problème simplifié et intégrable représenté par H 0 ,
dont la solution générale dépend de 2n constantes arbitraires, puis à dire que ces constantes varient suivant les
équations (2.42), en fonction du terme supplémentaire H 1 que l’on ajoute à H 0 .
Plus généralement, si G est solution d’une équation de la forme (2.34) écrite ici : H 0 ′ − H 0 = ∂G
∂t , en
appliquant le changement de variables engendré par G à un système d’hamiltonien H = H 0 + H 1 , le nouvel
hamiltonien sera H ′ = H + ∂G
∂t = H 0 + H 1 + H 0 ′ − H 0 c’est-à-dire : H ′ = H 0 ′ + H 1 ′ où H 1 ′ = H 1 exprimé en
fonction des nouvelles variables (x i , y i ). Ces variables vérifiaient initialement ẋ i = ∂H′ 0
et ẏ
∂y i = − ∂H′ 0
, elles
i ∂x i
satisfont maintenant :
ẋ i = ∂(H′ 0 + H ′ 1)
∂y i
et ẏ i = − ∂(H′ 0 + H ′ 1)
∂x i
On mettra à profit ce résultat en §5-21.3 pour exprimer les équations d’un mouvement intégrable perturbé :
Les constantes du mouvement intégrable deviennent des variables dont les variations dépendent directement de
la perturbation qu’on a appliqué au système intégrable.
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