Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 1 • section 1.4.0 • Page 33 de 396
Q et R de telle sorte que les arcs ̂P A, ̂QB et ̂RC soient inférieurs à π/2, le triangle P QR est appelé triangle
polaire de ABC. Ses côtés p, q, r et ses angles P , Q R valent alors :
p = π − A q = π − B r = π − C
P = π − a Q = π − b R = π − c
C’est en portant ces expressions dans (1.1) qu’on trouve (1.4). De même, les formules (1.6) se déduisent de
(1.5) par la considération des triangles polaires. Bien sûr, on en déduit aussi d’autres semblables par permutation
circulaire des angles et des côtés.
En regroupant les relations (1.1), (1.2) et (1.5), ou (1.4), (1.2) et (1.6), on constitue les relations de Gauss :
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
sin a sin B = sin b sin A
sin a cos B = cos b sin c − sin b cos c cos A
(1.7)
cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos a
sin A sin b = sin B sin a
sin A cos b = cos B sin C + sin B cos C cos a
(1.8)
permettant de calculer sans indétermination (par leur sinus et leur cosinus) l’angle et l’arc présents dans les
membres de gauche.
Notons que ces relations engendrent des relations plus simples dans les cas où un angle vaut π/2 (triangle
rectangle) ou quand un côté vaut π/2 (triangle rectilatère). Signalons enfin que la somme des 3 angles d’un
triangle sphérique ne vaut pas π comme dans un triangle plan : S désignant la surface du triangle ABC (exprimée
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