Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.1.2 • Page 187 de 396
par définition la divergence du champ g au point Q et l’on écrit :
div g = dΦ
dV
Le théorème de Gauss ou de Green montre que l’on a :
∫∫∫
Φ(S) = div g dV =
Q∈V
∫∫
P ∈S
g(P ) · dS
Le champ g est dit à flux conservatif dans un domaine D de l’espace si en tout point Q de D on a : dΦ
dV = 0,
ou de façon équivalente : div g = 0 ; on dit encore que le flux sortant de toute surface incluse dans D est nul.
La notion de flux étant indépendante de tout repère, la divergence d’un champ en un point Q est aussi indépendante
de tout repère ; seule la façon de la calculer dépend du repère et du système de coordonnées utilisé pour
repérer Q. Dans un repère Oijk, en coordonnées cartésiennes, Q étant défini par (x, y, z), et g(Q) par 3 composantes
(g i (x, y, z), g j (x, y, z), g k (x, y, z)), en calculant le flux sortant de l’élément de surface fermée cubique de
côtés dx, dy et dz situé entre les points Q = (x, y, z) et Q + dQ = (x + dx, y + dy, z + dz), et en divisant ce
flux par le volume dxdydz de ce cube, on obtient l’expression de la divergence en coordonnées cartésiennes :
div g = ∂g i
∂x + ∂g j
∂y + ∂g k
∂z
(4.5)
De même, en coordonnées sphériques, dans la base locale (u, v, w), le champ g est représenté par les 3 composantes
: (g u (r, λ, ϕ), g v (r, λ, ϕ), g w (r, λ, ϕ)) ; on obtient alors l’expression de la divergence en coordonnées
sphériques :
[
1 ∂
div g =
r 2 cos ϕ ∂r (r2 cos ϕ g u ) + ∂
∂λ (r g v) + ∂
]
∂ϕ (r cos ϕ g w)
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