Cours de Mécanique céleste classique

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de Hansen en puissances de l’excentricité et en tronquant ces développements au degré 1, il resterait :
∆a a 2 e
= J 2
{(1
a 0 a 2 − 3 )
n 0 cos
0
2 sin2 i 0 3e ¯M
0 + 3 ( 2n0 cos(2
n M 2 sin2 i ¯M + 2¯ω)
0 +
2n M + 2n ω
n 0 cos( ¯M + 2¯ω)
− e 0
2
+ 7e 0
n M + 2n ω 2
{
− 9 2 e n 0 sin
0 cos i ¯M
0 + 3 n M 2 cos i 0
3n 0 cos(3 ¯M + 2¯ω)
)
+ O(e 2 )
3n M + 2n ω
} (5.89)
J 2 a 2 (
e
n0 sin(2
∆Ω =
¯M + 2¯ω)
(1 − e 2 0) 1/2 a 2 +
0
2n M + 2n ω
− e 0 n 0 sin( ¯M + 2¯ω)
+ 7e 0 n 0 sin(3 ¯M + 2¯ω)
) }
(5.90)
+ O(e 2 )
2 n M + 2n ω 2 3n M + 2n ω
On obtiendrait aussi directement ces expressions en utilisant les équations de Lagrange avec le développement
tronqué de U J2 donné en (5.61). Pour un satellite à 800 km d’altitude, on trouve que l’amplitude du plus gros
terme de ∆a/a 0 est de l’ordre de 2 10 −3 e 0 , tandis que dans ∆Ω, il est de l’ordre de 5 10 −4 cos i 0 soit une centaine
de secondes de degré. On trouverait des ordres de grandeur analogues dans les autres solutions. La petitesse de
ces termes à courte période justifie bien les développements de Taylor effectués dans les équations (5.72) et
(5.73) et permet de penser qu’en reportant dans ces équations les solutions ∆x i que l’on vient de déterminer, on
pourra amorcer un processus d’itérations rapidement convergent.
Remarque. On peut aussi exprimer sous une forme non développée cette première approximation des perturbations
dues au J 2 : on dispose en effet des expressions (5.34) à (5.39), issues des équations de Gauss, et qui
sont des équations rigoureuses car on n’y a pas développé a/r ou w en fonction de M. Or, on sait maintenant
qu’en première approximation on peut assimiler a, e, i et ω à des constantes a 0 , e 0 , i 0 et ω 0 (en négligeant les
variations de ces éléments, qui sont de l’ordre de J 2 ). Alors, en remplaçant dans ces équations a, e, i et ω par
ces constantes, leurs seconds membres ne sont plus que des fonctions de r et de w, où r est lui-même fonction
de w par le formulaire du mouvement képlérien. La loi des aires permet ensuite de considérer w comme variable
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