Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.3 • Page 342 de 396
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déduire, sous les mêmes formes, le développement de ra n ( a
′
) n+1
cos
r ′ m S pour les valeurs de n et m qui interviennent
dans les premiers termes du développement (6.48) de 1/∆ en polynômes de Legendre. Par exemple,
pour n = 1, en utilisant les développements (6.50) et (6.65), on obtient jusqu’au degré 2 en excentricités et
inclinaisons :
r
a
a ′2
r ′2 cos S = (1 − 1 2 e2 − 1 2 e′2 − sin 2 i
2 − sin2 i ′
2 ) cos(L − L′ )
+ 1 2 e [cos(2L − L′ − ϖ) − 3 cos(L ′ − ϖ)] + 2e ′ cos(L − 2L ′ + ϖ ′ )
+ 1 8 e2 [cos(L + L ′ − 2ϖ) + 3 cos(3L − L ′ − 2ϖ)]
+ 1 8 e′2 [cos(L + L ′ − 2ϖ ′ ) + 27 cos(L − 3L ′ + 2ϖ ′ )]
+ ee ′ [cos(2L − 2L ′ − ϖ + ϖ ′ ) − 3 cos(2L ′ − ϖ − ϖ ′ )]
+ sin 2 i
2 cos(L + L′ − 2Ω) + sin 2 i ′
2 cos(L + L′ − 2Ω ′ )
+ 2 sin i 2
sin
i′
2 [cos(L − L′ − Ω + Ω ′ ) − cos(L + L ′ − Ω − Ω ′ )]
(6.69)
Remarque 1. Les résultats précédents s’appliquent directement au calcul du développement de la partie indirecte
des fonctions perturbatrices U et de U ′ vues en (6.45) puisque l’on a :
U ind ∝ r cos S
r ′2 = a ( r
)( a
′ ) 2
cos S et U
′
a ′2 a r ′ ind ∝ r′ cos S
(
r 2 = a′ a
) 2 ( r
′ )
a 2 r a ′ cos S
A un facteur près, le développement (6.69) représente celui de U ind . Evidemment on en déduirait U ind ′ , simplement
en y permutant les rôles de e et e ′ , de i et i ′ , de ϖ et ϖ ′ , de Ω et Ω ′ et de L et L ′ .
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