Cours de Mécanique céleste classique

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c’est-à-dire vérifiant l’équation : y −
2m
1
avec y = β.
( ∂G
∂q
) 2
− 1
2
kq 2 = 0. On retrouve l’équation écrite ci-dessus pour F 1 ,
Cette méthode, qui consiste ainsi à rechercher un jeu de variables dont l’une est égale au nouvel hamiltonien,
convient aux systèmes conservatifs ; notons que la variable conjuguée de cette variable s’identifie au temps.
Le problème de Kepler énoncé en exemple à la fin du paragraphe 7 peut aussi être résolu par la méthode
d’Hamilton-Jacobi, mais nous reportons cette résolution en §3-12.2, après avoir étudié ce problème par la méthode
vectorielle fournie par les théorèmes généraux de la mécanique. Ainsi, il sera plus facile d’interpréter les
constantes données par la méthode d’Hamilton-Jacobi, en fonction des propriétés géométriques et cinématiques
du mouvement képlérien obtenues par la méthode vectorielle.
9.2. Application à la méthode des variations des constantes arbitraires
Si l’on trouve une fonction G telle que, pour F donné, on ait
∑
(p i dq i + x i dy i ) + F dt = dG
i
le changement de variables engendré par G est canonique, et s’il est appliqué à un système dont l’hamiltonien
initial est H(q i , p i , t), le nouvel hamiltonien, exprimé en variables (x i , y i ), vaut : H ′ = H +F = H + ∂G
∂t . Ainsi,
étant donné un hamiltonien H 0 (q i , p i , t), si on trouve G(q i , β i , t) solution de l’équation d’Hamilton-Jacobi :
H 0 (q i , ∂G
∂q i
, t) + ∂G
∂t = 0 (2.41)
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