Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.3 • Page 338 de 396
En utilisant les relations : β = ω + w = l − Ω et β ′ = ω ′ + w ′ = l ′ − Ω ′ , où l et l ′ sont les longitudes vraies
dans l’orbite, et en exprimant sous forme complexe toutes les fonctions trigonométriques qui ne dépendent pas
des inclinaisons, on fait appara^ıtre dans cos S les 6 termes suivants :
cos S = Re{
1
4 (1 + cos i + cos i′ + cos i cos i ′ ) exp √ −1(l − l ′ )
+ 1 4 (1 − cos i − cos i′ + cos i cos i ′ ) exp √ −1(l − l ′ − 2Ω + 2Ω ′ )
+ 1 (1 − cos i + cos 4 i′ − cos i cos i ′ ) exp √ −1(l + l ′ − 2Ω)
+ 1 (1 + cos i − cos 4 i′ − cos i cos i ′ ) exp √ −1(l + l ′ − 2Ω ′ )
}
+ 1 sin i sin 2 i′ ( exp √ −1(l − l ′ − Ω + Ω ′ ) − exp √ −1(l + l ′ − Ω − Ω ′ ))
(6.56)
Or, on a :
et, avec ɛ et ɛ ′ égaux à ±1, on a aussi :
1 + ɛ cos i + ɛ ′ cos i ′ + ɛɛ ′ cos i cos i ′ = (1 + ɛ cos i)(1 + ɛ ′ cos i ′ )
1 + cos i = 2 cos 2 i 2
et 1 − cos i = 2 sin 2 i 2
Exercice En introduisant les éléments complexes ζ, ζ ′ et leurs conjugués ζ et ζ ′ on obtient alors cos S sous cette forme
particulièrement condensée :
où l’on a posé :
cos S = Re { (χχ ′ + ζζ ′ ) 2 exp √ −1(l − l ′ ) + (χζ ′ − χ ′ ζ) 2 exp √ −1(l + l ′ ) } (6.57)
χ = cos i 2 = √ 1 − ζζ et χ ′ = cos i′
2 = √ 1 − ζ ′ ζ ′ (6.58)
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