Cours de Mécanique céleste classique

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variables, combinaison linéaire de ces 2n + 1 monômes. En revenant aux coordonnées sphériques, V n peut ainsi
s’écrire sous forme d’une combinaison linéaire de 2n+1 fonctions W n
(p) (λ, ϕ) qui sont les fonctions harmoniques
sphériques d’ordre n :
V n = 1 ∑+n
r n+1 a p W n (p) (λ, ϕ)
Voyons comment les obtenir.
p=−n
15.4.1. Harmoniques sphériques
( )
Wn (λ, ϕ)
D’après (4.8), l’équation ∆V n = ∆
r n+1 = 0 devient :
n(n + 1) W n + 1 ∂ 2 W n
cos 2 ϕ ∂λ 2 + ∂2 W n
∂ϕ 2 − tan ϕ ∂W n
∂ϕ = 0 (4.14)
Comme le potentiel en P est une fonction périodique de λ de période 2π, il en est de même de chaque W n (λ, ϕ) ;
on recherche donc cette fonction sous la forme d’un développement en série de Fourier en λ :
W n (λ, ϕ) =
+∞∑
p=−∞
C (p)
n (ϕ) exp ipλ (4.15)
On en déduit :
[
∑ (
n(n + 1) − p2
p
cos 2 ϕ
)
C (p)
n
− tan ϕ dC(p) n
dϕ
+ d2 C (p)
n
dϕ 2 ]
exp ipλ = 0
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