Cours de Mécanique céleste classique

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Ainsi, dans le cas des équations de Lagrange, la trajectoire décrite par le système matériel entre les instants
t 0 et t 1 , correspond à un extrémum de l’intégrale :
I =
∫ t1
t 0
L(t, q 1 , ˙q 1 , · · · , q n , ˙q n ) dt
La quantité I est l’action (dimension ML 2 T −1 ) ; si les instants t 0 et t 1 sont très voisins, l’extrémum est en fait
un minimum et l’on dit que les systèmes lagrangiens vérifient le principe de moindre action.
7. Formulation hamiltonienne des équations de la mécanique
Dans un système dynamique de lagrangien L(q 1 , · · · , q n , ˙q 1 , · · · , ˙q n , t) , on peut encore transformer les équations
d’Euler-Lagrange pour aboutir à un système d’équations mis sous une forme dite canonique qu’on appelle
équations d’Hamilton.
Pour cela, à chacune des variables de position q i , on associe une variable conjuguée p i définie par la relation :
p i = ∂L
∂ ˙q i
i = 1 · · · n (2.7)
Si q i a la dimension d’une longueur, p i a la dimension d’une quantité de mouvement (MLT −1 ) ; si q i est une
variable angulaire (sans dimension), p i a la dimension d’un moment cinétique (ML 2 T −1 ) et on parle dans ce cas
de moment conjugué de q i . Les n équations différentielles du second ordre d’Euler-Lagrange (2.6) se dédoublent
alors en 2n équations du premier ordre :
dp i
dt = ∂L
(2.8)
∂q i
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