Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 8.0.0 • Page 71 de 396
On a enfin les équations canoniques du mouvement :
dr
dt = ∂H = p r
∂p r
m
dθ = ∂H =
p θ
dt ∂p θ mr 2
dp r
dt = −∂H ∂r =
p2 θ
mr 3 − mµ
r 2
dp θ
dt = −∂H ∂θ = 0
On remarque que la dernière équation donne p θ constant (entraînant mr 2 ˙θ = pθ = constante, loi des aires).
C’est en fait la non-présence explicite de la variable θ dans l’hamiltonien qui induit cette intégrale première.
Ainsi, lorsqu’un hamiltonien ne dépend pas explicitement de certaines variables, l’intégration des équations
d’Hamilton relatives à leurs variables conjuguées devient immédiate. A la limite, si un hamiltonien ne dépend
explicitement que de la moitié des variables, le système est complètement intégrable, les conjuguées de ces
variables étant des constantes et ces variables elles-mêmes étant des fonctions linéaires de t. L’intérêt de la formulation
canonique des équations de la mécanique vient de ce qu’il existe des régles pour changer de variables
de telle sorte que les équations exprimées dans les nouvelles variables s’expriment avec un nouvel hamiltonien
en conservant la forme canonique ; un tel changement de variables est appelé transformations canoniques ; si le
système est intégrable, on peut en outre faire en sorte que la moitié des variables n’apparaissent plus explicitement
dans le nouvel hamiltonien. La méthode des transformations canoniques est donc très intéressante pour
la résolution des équations différentielles de la mécanique, d’autant plus que cette méthode peut être ensuite
prolongée pour traiter les perturbations de systèmes intégrables.
8. Transformations canoniques
Considérons un système hamiltonien représenté par un jeu de variables canoniques (q i , p i ) i=1···n et un hamiltonien
H(q i , p i , t). Cela revient donc à dire que les q i et les p i vérifient les équations canoniques :
Pb19
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