Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 6.0.0 • Page 65 de 396
comme une (n + 1) ième variable notée q n+1 et, en plus des n équations de Lagrange (2.4), on écrit l’équation
analogue correspondant à j = n + 1 ; il convient toutefois d’associer à q n+1 une vitesse ˙q n+1 égale à 1, mais on
ne remplace q n+1 par t et ˙q n+1 par 1 qu’à la fin des calculs.
Dans le cas, fréquent en mécanique céleste, où les forces agissant sur le système (S) dérivent d’un potentiel
U, c’est-à-dire qu’il existe U tel que :
dU = ∑
F(P i ) · dP i
P i ∈(S)
On dit encore que le travail élémentaire des forces est la différentielle totale d’une fonction U, fonction des points
P i . En exprimant U en fonction des q j , on a par ailleurs :
dU =
n∑
j=1
∂U
∂q j
dq j
et
∑
P i ∈(S)
F(P i ) · dP i =
n∑
Φ j dq j
j=1
de sorte qu’on identifie :
Φ j = ∂U
∂q j
En notant L = T + U , les équations du mouvement se mettent alors sous la forme d’Euler-Lagrange :
( )
d ∂L
− ∂L = 0 i = 1 · · · n (2.6)
dt ∂ ˙q i ∂q i
L est le lagrangien du système dynamique. Ces équations s’étendent aussi au cas où T et U dépendent explicitement
du temps, de sorte qu’un lagrangien est généralement considéré comme fonction de 2n + 1 variables :
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