Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 12.2.2 • Page 124 de 396
et tenant compte de (3.64), on déduit en effet :
x 3 = ∂G 2
∂y 3
= Ω , Θ = ∂G 2
∂Ω = y 3 et G = ∂G 2
∂ψ = y 2 (3.66)
Désormais, le changement de variables peut ainsi être réduit à :
(r, ψ, Ω, R, G, Θ) −→ (x 1 , x 2 , Ω, h, G, Θ)
avec une fonction génératrice G 2 = ψG + ΩΘ + S(r, −, −, h, G, −) où S est solution de l’équation :
h − 1 ( ) 2 ∂S
− G2
2 ∂r 2r 2 + µ r = 0
On obtient ainsi :
S(r, −, −, h, G, −) = ε
∫ r
r 0 (h,G)
√
2h + 2µ r − G2
2
dr (3.67)
r
où l’on a admis que la constante d’intégration r 0 est une fonction des 2 constantes h et G dont doit dépendre S
et où ε = ±1.
De (3.64) on déduit ensuite :
x 1 = ∂G 2
∂y 1
= ∂S
∂h = ε ∫ r
r 0
dr
√
− ε ∂r 0
2h + 2µ ∂h
r − G2
r 2
√
2h + 2µ
r 0
− G2
r 2 0
= t − t 0 puisque ẋ 1 = ∂H′
∂h = 1 (3.68)
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