Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 12.2.1 • Page 121 de 396
et en exprimant H en fonction des variables et de leurs conjuguées, on trouve :
H(r, ψ, ϑ, γ, R, Ψ, Θ, Γ ) = 1 [R 2 + Ψ 2
2 r 2 + Γ 2
]
(Θ − Ψ cos γ)2
2
+
r r 2 sin 2 − µ γ r
(3.59)
Enfin, après avoir différentié (3.58) et en tenant compte des équations de Lagrange (3.56) et de la définition des
moments conjugués, l’identification des coefficients de chaque élément différentiel dans les deux membres de
dH conduit aux équations d’Hamilton “avec multiplicateurs” :
dr
dt = ∂H
∂R
dψ
dt = ∂H
∂Ψ
dϑ = ∂H
dt ∂Θ
dγ
dt = ∂H
∂Γ
dR = − ∂H
dt ∂r
dΨ = − ∂H
dt ∂ψ
dΘ = − ∂H
(3.60)
− λ sin γ cos ψ
dt ∂ϑ
dΓ = − ∂H
dt ∂γ + λ sin ψ
auxquelles il faut joindre la relation de liaison (3.55) qui montre, d’après (3.57), que Γ est nul, ainsi que dγ
dt égal
à ∂H
∂Γ = Γ r 2 ; si l’on veut que la liaison (3.55) soit vérifiée quel que soit ψ, alors il faut qu’à son tour dϑ soit nul.
dt
γ et ϑ sont donc constants et le plan (Π) est fixe. On tire ensuite des équations d’Hamilton :
puis
dϑ = 0 = ∂H
dt ∂Θ = Θ − Ψ cos γ
r 2 sin 2 γ
dΨ
dt = −∂H ∂ψ
=⇒ Θ = Ψ cos γ (3.61)
= 0 =⇒ Ψ constant, ainsi que Ψ cos γ = Θ
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