Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 23.1.0 • Page 301 de 396
23.1. Intégrales premières
Le problème des N corps est représenté par N équations différentielles du second ordre ; c’est donc un système
d’équations scalaires d’ordre 6N. Montrons qu’il existe 10 intégrales premières scalaires, qui permettraient
donc de le réduire à un système d’ordre 6N − 10.
On a d’abord 6 intégrales premières qui proviennent du mouvement rectiligne et uniforme de G, centre de
masse des N corps. En effet, le système étant supposé isolé, la somme de toutes les interactions mutuelles est
nulle(cf. (4.3)) ; on a donc :
n∑
k=0
m k
d 2 OP k
dt 2
= 0 = M d2 OG
dt 2 (6.2)
où M représente la masse totale des N corps. On a alors OG = OG 0 + V G t où OG 0 et V G sont deux vecteurs
constants représentant 6 constantes d’intégration scalaires. On pourrait réduire le problème à celui de N − 1
corps, déterminant le mouvement de P 1 , P 2 , . . . P n autour de G et déduisant celui de P 0 de la relation :
m 0 GP 0 = −
n∑
m i GP i (6.3)
On a ensuite 3 intégrales premières données par le théorème du moment dynamique appliqué à un système
isolé :
n∑
d 2 OP k
OP k ∧ m k
dt 2 = 0 = d ( n∑
dOP
)
k
OP k ∧ m k
dt
dt
k=0
Exercice Le moment cinétique en O du système des N corps est donc un vecteur constant. Le repère d’origine G en
i=1
k=0
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