Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 13.8.0 • Page 174 de 396
on a l’avantage d’utiliser des variables régulières de même nature que celles définies en (3.49), et l’on peut
écrire :
e cos M = 1 2 (X + ¯X) , e 2 cos 2M = 1 2 (X2 + ¯X 2 ) , . . .
ie sin M = 1 2 (X − ¯X) , ie 2 sin 2M = 1 2 (X2 − ¯X 2 ) , . . .
e 2 = X ¯X , e 4 = X 2 ¯X2 , . . .
Par exemple, le développement limité (3.139) de a/r à l’ordre 5 devient alors le polynôme en X et ¯X :
a
r
( 1
=1 + (X + ¯X)
2 − 1 16 X ¯X + 5
)
+ (X 3 + ¯X 3 )
( 9
16 − 81
256 X ¯X
384 X2 ¯X2
)
+ (X 2 + ¯X
( 1 2 )
2 − 1 6 X ¯X
)
+
+ 2 3 (X4 + ¯X 4 ) + 625
768 (X5 + ¯X 5 ) + O(e 6 )
(3.145)
L’intérêt d’une telle formulation vient de ce qu’il est toujours plus facile de manipuler des polynômes que
des développements trigonométriques ; ceci est encore plus vrai si l’on veut construire ces développements sur
ordinateur de manière automatique en utilisant un manipulateur de formules. Ainsi, si l’on dispose de la seule
expression de a/r donnée ci-dessus, on peut reconstruire le développement limité à l’ordre 5 de n’importe laquelle
des fonctions ( r a
) n
exp im(w − M) (pour n et m quelconques), simplement en effectuant des produits et
des sommes de polynômes de degré 5, ce qui permet d’éviter le calcul des coefficients de Hansen par la formule
(3.135).
En effet, notons a/r = 1 + R où R est le polynôme des deux variables X et ¯X réécrit de façon à classer ses
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