Cours de Mécanique céleste classique

⊙ ⊕ ∅
Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 12.6.0 • Page 146 de 396
t 0 ) − Ω − ω et :
M = e sinh E − E ⇒ E (par inversion de l’équation de Kepler)
r = a (e cosh E − 1)
X = a (e − cosh E) Y = a √ e 2 − 1 sinh E
Ẋ = −(na 2 /r) sinh E Ẏ = (na 2 /r) √ e 2 − 1 cosh E
(3.103)
Exercice Notons que pour déterminer E, il faut dans tous les cas inverser l’équation de Kepler ou de Barker. Lorsqu’on
recherche E numériquement, on utilise généralement la méthode de Newton pour sa convergence quadratique :
En mettant l’équation de Kepler ou de Barker sous la forme f(E) − M = 0 , si f ′ (E) ≠ 0 , il suffit d’itérer la
relation :
E i+1 = E i + ∆E i avec ∆E i = − f(E i) − M
f ′ (3.104)
(E i )
On démarre généralement les itérations avec E 0 = M . Dans le cas elliptique et si l’excentricité e est assez
petite, on peut aussi calculer E à partir du des premiers termes du développement analytique de la solution de
l’équation de Kepler (cf. §13) :
E = M +
) (e − e3
sin M + e2
8
2
sin 2M +
3e3
8
sin 3M · · ·
Exercice Cette expression peut aussi servir à amorcer les itérations dans un calcul numérique de E par la méthode de
Newton.
Il reste finalement à appliquer les 3 rotations Ω, i et ω pour obtenir la position et la vitesse de P dans R o :
⎛
⎝ x ẋ
⎞
⎛
y ẏ ⎠ = R 3 (−Ω) × R 1 (−i) × R 3 (−ω) × ⎝ X Ẋ
⎞
Y Ẏ ⎠ (3.105)
z ż
0 0
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