Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 12.7.0 • Page 149 de 396
Comme les mouvements héliocentriques de l’astre et de la Terre sont, en première approximation, des mouvements
képlériens d’équation :
¨r = −µ r R
r 3 et ¨R = −µ
R 3 (3.109)
on tire de (3.108) et de (3.106) l’équation vectorielle suivante :
∆ ¨ρ + 2 ˙∆ ˙ρ + ( ¨∆ + µ∆ ( µ
r 3 ) ρ = r 3 − µ )
R 3 R (3.110)
Sauf singularité, cette équation représente 3 équations scalaires dont on peut éliminer l’inconnue ¨∆ ; il reste :
( µ
(ρ ∧ ˙ρ) · ¨ρ ∆ = R · (ρ ∧ ˙ρ)
r 3 − µ )
R 3 (3.111)
2 (ρ ∧ ¨ρ) · ˙ρ ˙∆
( µ
= R · (ρ ∧ ¨ρ)
r 3 − µ )
R 3
De l’équation (3.106) on tire en outre cette relation entre les inconnues r et ∆ :
(3.112)
r 2 = R 2 + ∆ 2 − 2∆ ρ · R (3.113)
On utilise ces équations à l’instant τ 0 : Si le produit mixte (ρ 0 , ˙ρ 0 , ¨ρ 0 ) n’est pas nul (c’est-à-dire vecteurs non
coplanaires et ˙ρ 0 ≠ 0 et ¨ρ 0 ≠ 0), (3.111) et (3.113) permettent de calculer r et ∆ à cet instant ; en effet, en
reportant dans (3.113) la valeur de ∆ donnée par (3.111) en fonction de r, on obtient une équation algébrique
de degré 8 en r ; seules les racines réelles positives satisfont le problème. On pourrait montrer qu’avec R fixé
à 1, il y a 3 racines réelles positives (dont celle r = R et ∆ = 0), une racine réelle négative, et les autres sont
complexes. L’ambiguïté entre les 2 racines positives possibles peut être levée par le signe de ρ · R dans le cas où
ces 2 racines encadrent la racine r = R ; dans le cas contraire, il faut faire jouer des critères de vraisemblance,
ou utiliser des observations supplémentaires de façon à déterminer r et ṙ à un autre instant.
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