Cours de Mécanique céleste classique

⊙ ⊕ ∅
Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.3 • Page 336 de 396
Exercice
r 2 (
a2
′3
=
r a ′3 1 − (X + X) + 3 2 (X′ + X ′ ) − 3 (X + 2 X)(X′ + X ′ ) +
)
− 1 4 (X2 − 6XX + X 2 ) + 3 4 (3X′2 + 2X ′ X ′ + 3X ′2 ) + O(e 3 , e 2 e ′ , ee ′2 , e ′3 )
(
= a2
a ′3 1 + 3 2 e2 + 3 2 e′2 − 2e cos(L − ϖ) + 3e ′ cos(L ′ − ϖ ′ ) − 1 2 e2 cos(2L − 2ϖ) +
+ 3 2 e′2 cos(2L ′ − 2ϖ ′ ) + 3ee ′ [cos(L + L ′ − ϖ − ϖ ′ ) + cos(L + L ′ − ϖ − ϖ ′ )]
)
+ O(e 3 , e 2 e ′ , ee ′2 , e ′3 )
(6.53)
25.1.3. Développement de cos S et de rn cos m S
r ′n+1
Soit R 0 = P 0 i 0 j 0 k 0 le repère héliocentrique qui sert de référence dans la définition des éléments osculateurs
de P et de P ′ . Sur la figure suivante, on trouve les plans P 0 nu et P 0 n ′ u ′ des orbites osculatrices des deux
planètes. Ces plans coupent le plan fondamental P 0 i 0 j 0 suivant les axes P 0 n et P 0 n ′ , avec des inclinaisons i et
i ′ supposées non nulles. Plus précisément, n et n ′ sont les vecteurs unitaires dirigés vers les nœuds ascendants
respectifs des deux orbites. L’angle entre n et n ′ est alors la différence des longitudes des nœuds ascendants :
(Ω ′ − Ω). Les deux bases orthogonales directes B = (n, k 0 ∧ n, k 0 ) et B ′ = (n ′ , k 0 ∧ n ′ , k 0 ) diffèrent donc
l’une de l’autre par la rotation d’angle (Ω ′ − Ω) autour de k 0 . L’angle β entre n et u représente la somme ω + w,
où ω est l’argument du périhélie de P et w son anomalie vraie ; de même, l’angle β ′ entre n ′ et u ′ vaut ω ′ + w ′ .
Alors, on peut exprimer u dans B et u ′ dans B ′ ; on obtient :
Dev2.3.1
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