Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 24.3.1 • Page 321 de 396
24.3.1. cas {Soleil + 2 planètes} : m 0 ≫ m 1 et m 0 ≫ m 2
Si m 0 est la masse du Soleil P 0 , prépondérante sur celles m 1 et m 2 des planètes P 1 et P 2 (ces 2 masses
étant éventuellement du même ordre de grandeur), les équations (6.16) et (6.17) représentent le mouvement
héliocentrique des 2 planètes. Les termes qui possèdent Km 2 et Km 1 en facteur dans ces équations sont alors
petits devant le terme képlérien, à condition toutefois que la quantité 1/|r 2 −r 1 | 2 reste du même ordre de grandeur
que 1/|r 1 | 2 et 1/|r 2 | 2 : C’est le cas si P 1 ne s’approche jamais très près de P 2 , et il suffit pour cela que les orbites
de P 1 et P 2 soient bien séparées, c’est-à-dire avec des excentricités faibles et avec demi-grands axes osculateurs
a 1 et a 2 bien distincts (tels que |a 1 − a 2 | soit du même ordre de grandeur que a 1 ou a 2 ). Si les 2 planètes ont
des masses comparables, leurs perturbations mutuelles seront également comparables ; si l’une des planètes a
une masse très petite devant celle de l’autre, la grosse planète perturbera la petite mais ne sera pratiquement pas
perturbée par elle.
On peut se demander jusqu’à quelle distance minimale de P 1 peut passer P 2 pour que le mouvement de P 2
par rapport à P 0 reste représentable par un mouvement képlérien héliocentrique perturbé. Pour cela, il suffit que
dans l’équation (6.17), le rapport R entre les modules de la partie perturbatrice et de la partie képlérienne soit
inférieur à un certain ε petit donné :
R =
m 1
∣ ∣∣∣ r 2 − r 1
|r 2 − r 1 | 3 − r 1
|r 1 | 3 ∣ ∣∣∣
(m 0 + m 2 )
< ε (6.30)
1
|r 2 | 2
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