Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 6.0.0 • Page 66 de 396
L ≡ L(q 1 , · · · , q n , ˙q 1 , · · · , ˙q n , t). Un système dynamique vérifiant les équations (2.6) s’appelle aussi système
lagrangien.
Remarque . Les équations d’Euler-Lagrange sont l’expression d’une propriété d’extrémum que l’on retrouve
sous divers noms : principe de moindre action en mécanique, théorème de Fermat en optique, théorème d’Euler
en mathématiques. On démontre en effet en mathématiques le résultat suivant :
Soit F (x, y, z) une fonction continue de 3 variables réelles x, y et z, dont les dérivées partielles sont continues
jusqu’à l’ordre 2 au moins. Considérons alors, pour a et b fixés, l’intégrale suivante :
∫ x=b
(
I F (y) = F x, y(x), dy )
dx
dx
x=a
Cette intégrale prend des valeurs diverses suivant la fonction y(x) que l’on met dans F . Pour l’ensemble des
fonctions y(x) qui prennent la même valeur en x = a et en x = b et qui diffèrent entre a et b, l’intégrale I F (y)
est extrémale si y(x) vérifie l’équation d’Euler :
où l’on a noté y ′ = dy/dx.
d
dx
( ∂F
∂y ′ )
− ∂F
∂y = 0
Ce résultat se généralise d’ailleurs au cas où F est fonction de 2n + 1 variables : F (x, y 1 , z 1 , · · · , y n , z n ), pour
lesquelles l’intégrale
I F (y 1 , · · · , y n ) =
∫ x=b
x=a
( )
est extrémale si, pour tout i, on a : d ∂F
dx ∂y
′
i
F (x, y 1 (x), y ′ 1(x), · · · , y n (x), y ′ n(x)) dx
− ∂F
∂y i
= 0
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