Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 26.0.7 • Page 360 de 396
où les coefficients U p (ki)
k p i
sont, comme en (6.89), des fonctions de l’ensemble des éléments osculateurs de P k et
de P i , à l’exclusion des longitudes moyennes :
U p (ki)
k p i
= ∑ C (ki)
h,K,j ηh 1
k ηh 2
i z k 1
k zk 2
k zk 3
i z k 4
i ζ k 5
k ζ k 6
k ζk 7
i ζ k 8
i (6.104)
h,K,j
Les coefficients C (ki)
h,K,j sont numériques et dépendent de α 0ki ; l’indice h représente les entiers positifs ou nuls
{h 1 , h 2 }, tandis que j et K = {k 1 , . . . , k 8 } décrivent respectivement l’ensemble des entiers relatifs et l’ensemble
des exposants entiers positifs ou nuls qui satisfont à la propriété de d’Alembert (cf. (6.67)) :
p k = k 2 − k 1 + k 6 − k 5 + j
avec k 5 + k 6 + k 7 + k 8 entier pair (6.105)
p i = k 4 − k 3 + k 8 − k 7 − j
Exercice Ces relations permettent de trouver par exemple quels sont les termes qui apparaissent dans l’inégalité séculaire
: Ils correspondent à p k = p i = 0, soit, au degré 2 par exemple : {k 1 = k 2 = 1 ou k 3 = k 4 = 1 ou
k 5 = k 6 = 1 ou k 7 = k 8 = 1} pour j = 0, {k 1 = k 4 = 1 ou k 5 = k 8 = 1} pour j = 1, et {k 2 = k 3 = 1 ou Dev3.3.2
k 6 = k 7 = 1} pour j = −1 ; on pourra vérifier que les termes correspondants sont bien ceux obtenus en (6.92).
de U (ki)
p k p i
De la même manière qu’on a n 2 k a3 k = µ k, on associe à chaque demi-grand axe de référence a 0k un moyen
mouvement constant n 0k par la relation :
n 2 0ka 3 0k = µ k (6.106)
Le moyen mouvement osculateur n k varie alors dans le voisinage de n 0k . Appelons ν k la variable correspondante,
définie par :
n k = n 0k (1 + ν k ) (6.107)
A cause de la troisième loi de Kepler, les variables η k et ν k ne sont pas indépendantes ; elles vérifient la relation :
n 2 ka 3 k = µ k = n 2 0ka 3 0k
= n 2 0ka 3 0k (1 + ν k ) 2 (1 + η k ) 3 d’où : (1 + ν k ) 2 (1 + η k ) 3 = 1 (6.108)
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