Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.3.0 • Page 193 de 396
toute surface fermée S contenant un volume V , est donné par le théorème de Gauss :
∫∫∫
Φ(S) = ∆ U(Q) dV
Q∈V
On a donc aussi ∆U =
dV dΦ ; or le flux dΦ sortant d’une surface quelconque contenant uniquement un point Q de
masse dm = ρ(Q) dV , vaut −4πKρ(Q) dV ; la conservation du flux montre que le même flux traverse la surface
élémentaire qui limite le volume dV entourant le point Q ; à la limite, au point Q, on a donc
dV dΦ = −4πKρ(Q).
On en déduit aussi que le flux sortant de toute surface contenant une masse répartie M vaut ∫∫∫ −4πKρ(Q) dV =
−4πKM et ne dépend pas de la répartition de la matière dans le volume considéré, mais seulement de sa masse
totale.
Finalement, on peut donc dire qu’en tout point de l’espace, intérieur ou extérieur à la matière, on a l’équation
suivante, dite équation de Poisson :
∆ U = −4πKρ avec ρ = 0 hors des masses
Bien sûr, c’est essentiellement le potentiel de gravitation à l’extérieur des masses qui intéresse la mécanique
céleste, le potentiel intérieur servant surtout aux études sur la dynamique interne des corps. L’intérêt d’étudier
le potentiel plutôt que le champ est évident : Le potentiel est une fonction scalaire, plus facile à construire
directement que les 3 composantes du champ, lesquelles se déduisent d’ailleurs simplement du potentiel par un
calcul de gradient.
15.3. Systèmes à symétrie matérielle sphérique
Un tel système possède par définition un centre de symétrie géométrique, soit O, et en plus, la masse volumique
en tout point P est uniquement fonction de sa distance r au point O : en coordonnées sphériques on a
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