Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 8.0.0 • Page 77 de 396
Enfin, en soustrayant membre à membre la dérivée partielle de (2.20) [resp. (2.21)] par rapport à t, et la
dérivée de (2.22) par rapport à x k [resp. y k ], on obtient :
[t, x k ] + ∂F
∂x k
= 0
(resp. [t, y k ] + ∂F
∂y k
= 0)
D’après le théorème 1, ceci montre que le changement de variables est canonique et que si l’hamiltonien du
système dans les anciennes variables est H, l’hamiltonien pour les nouvelles variables est H ′ = H ∗ + F (la
fonction F ∗ du théorème 1 est donc ici égale à −F ) ; donc, la fonction F qui apparaît dans la forme différentielle
(2.19) représente la différence entre le nouveau et l’ancien hamiltonien :
F = H ′ − H ∗ ou F = H ′ − H (2.23)
Inversement, si le changement de variables est canonique, la forme différentielle (2.19) est une différentielle
totale. Ceci résulte simplement du fait que dans un système hamiltonien, la forme différentielle ∑ n
i=1 p idq i −Hdt
est déjà une différentielle totale lorsque les q i et les p i sont solutions des équations d’Hamilton ; on sait en effet
qu’une forme différentielle ∑ i X idx i est une différentielle totale si et seulement si ∂X i
=
∂x ∂X k
quels que soient
k ∂x i
i et k. Or on a ∂p i
= 0 car les variables p
∂q i et q k sont indépendantes, et ∂p i
= dp i
= −
k
∂t dt
∂H pour tout i car
∂q i
p
∑ i , étant solution des équations, ne dépend que de t. De la même façon, en supposant le changement canonique,
i y idx i − H ′ dt est aussi une différentielle totale lorsque les x i et les y i vérifient les équations d’Hamilton
avec l’hamiltonien H ′ . On en déduit donc que la forme différentielle (2.19) où F = H ′ − H est également une
différentielle totale.
Remarque . Le fait que ∑ i p idq i − Hdt soit une différentielle totale peut aussi découler de la définition de
l’action : dI = Ldt, puisque d’après (2.9), on a aussi : ∑ i p idq i − Hdt = Ldt.
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