Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.3 • Page 344 de 396
effet :
degré global = k + k + l + l + k ′ + k ′ + l ′ + l ′ }
= C I + 2(k + l + k ′ + l ′ =⇒ degré global ≥ |C I | (6.73)
)
Si deux séries vérifient chacune la propriété de d’Alembert (C M
= C I pour chaque terme), leur produit
la vérifie aussi. Comme le développement de 1/∆ en polynômes de Legendre est une somme de produits en
a n /a ′n′ (r/a) n (a ′ /r ′ ) n′ cos m S, ce développement vérifie aussi la propriété de d’Alembert.
Exercice Remarque 3. On aurait pu chercher à exprimer cos S d’abord en fonction de l’inclinaison mutuelle J des deux
plans d’orbite, comme cela se fait souvent car l’expression obtenue est plus simple : On pourrait montrer en effet
que dans l’expression (6.57) de cos S, les quantités complexes (χζ ′ − χ ′ ζ) et (χχ ′ + ζζ ′ ) ont pour module
sin(J/2) et cos(J/2) respectivement. En fait, il est plus intéressant de faire intervenir directement comme
ici i et i ′ , les deux inclinaisons sur un plan extérieur ; en effet les équations de Lagrange ou d’Hamilton sont
exprimées de façon naturelle dans des repères de directions fixes et donc, ne font pas intervenir les inclinaisons
mutuelles. Ce sont néammoins les inclinaisons mutuelles qui gouvernent les perturbations des plans d’orbite. Si
l’on désire une expression en inclinaison mutuelle, il suffit ici de considérer que l’orbite de P ′ est confondue
avec le plan fondamental et de faire i ′ = Ω ′ = 0 et i = J.
Le fait que ce soit l’inclinaison mutuelle qui gouverne les perturbations des plans d’orbite a quand même
une conséquence sur la structure du développement exprimé en fonction des deux inclinaisons : En effet, si
les deux plans d’orbite sont confondus à un instant donné et si il n’y a pas d’autre perturbation entre les deux
corps, ces plans doivent rester confondus ; alors, d’après les équations de Lagrange (5.51) ou (5.52), la fonction
perturbatrice ne doit donc plus dépendre ni de i, ni de i ′ , ni de Ω, ni de Ω ′ , ou également ni de ζ et ni de ζ ′ .
Les termes dépendant des inclinaisons doivent donc disparaître complètement du développement de la fonction
perturbatrice lorsque l’on fait ζ ′ = ζ et ζ ′ = ζ. Tenant compte de ces deux égalités, on peut réorganiser le développement
(6.66) de façon à mettre chaque monôme en excentricités en facteur des monômes en inclinaisons,
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