Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 9.1.0 • Page 83 de 396
x i =
[ ]
∂G2 (q j , y j , t)
∂y i
y j =β j
= α i (2.38)
Comme on doit obtenir finalement y j = β j = constante, on voit qu’il suffit de trouver une solution G 2
qui dépende de n constantes d’intégration arbitraires β j , lesquelles seront identifiées aux valeurs constantes des
variables y j . En écrivant
G 2 ≡ G 2 (q j , β j , t) (2.39)
il faut cependant vérifier qu’avec cette identification, les variables x j calculées à partir des relations x j = ∂G 2
∂β j
sont aussi des constantes. Or on a :
dx j
dt = d dt
( ) ∂G2
= ∑ ∂β j
k
Mais comme G 2 est solution de (2.35), on a aussi :
∂ 2 G 2
∂t∂β j
=
∂ ∂G 2
∂β j ∂t
( ∂ 2 G 2
∂q k ∂β j
˙q k
)
= − ∂ (
H(q i , ∂G )
2
, t)
∂β j ∂q i
+ ∂2 G 2
∂t∂β j
(2.40)
Or, d’après (2.39), on doit considérer les β i comme indépendants des q i et et de t, et donc seul G 2 dépend des
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