Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 26.2.3 • Page 392 de 396
composante en x i = x 0i exp √ −1λ i t, ces termes sont transformés en :
∑
C ijk x 0i x 0j x 0k exp √ −1(λ i + λ j − λ k )t (6.175)
i,j,k
Parmi tous ces termes, ceux qui correspondent à des indices j et k égaux ont une fréquence égale à λ i ; alors, dans
l’équation relative à l’indice i :
dx i
dt = √ −1λ i x i + · · ·, ces termes peuvent aussi s’écrire : ∑ j C ijj x 0j x 0j x i , et
de fait, on les ajoute à la partie linéaire de cette équation, qui devient : dx i
dt = √ −1(λ i + ∑ j C ijj x 0j x 0j ) x i + · · ·,
donnant pour x i la nouvelle fréquence fondamentale λ i + ∑ j C ijj x 0j x 0j . Les autres termes de degrés 3, 5 etc.
donneraient de la même façon des petites modifications supplémentaires des valeurs propres du système linéaire.
Quant aux autres termes, qui ne viennent pas modifier les fréquences du système linéaire, ils peuvent être intégrés
terme à terme, chacun d’eux étant solution particulière d’une équation de la forme
dont une solution, nulle à t = 0, peut s’écrire :
x =
dx
dt − √ −1ω x = √ −1C exp √ −1( ∑ ip i λ i )t
C
∑ip i λ i − ω ( exp √ −1( ∑ ip i λ i )t − exp √ −1ωt) (6.176)
Il est intéressant d’avoir ici une solution particulière nulle à t = 0, car au moins elle ne vient pas modifier la
valeur des constantes d’intégration introduites au départ dans la solution du système linéarisé.
Cependant, l’intégration de ces termes fait apparaître des diviseurs d’une nouvelle sorte, combinaisons entières
des fréquences fondamentales du système séculaire. L’intégration sera possible si aucune de ces combinaisons
ne s’annulle ou ne soit trop petite. En réalité, il n’est pas possible d’éviter ces diviseurs trop petits ou
nuls et qui correspondent à des résonances séculaires : C’est ici que se manifeste le fait établi par H. Poincaré
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