Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 9.0.0 • Page 79 de 396
Exercice En effet, notant P , Q, X et Y les matrices colonnes des p i , q i , x i et y i , on a : Q = AX et P = AY , d’où :
P t Q = Y t A t AX = Y t X, c’est-à-dire : ∑ i p iq i − ∑ i x iy i = 0. Le même calcul effectué avec des matrices
dQ = (dq i ) et dX = (dx i ) aboutirait à P t dQ = Y t dX, c’est-à-dire : ∑ i (p idq i − x i dy i ) = 0 Cette valeur
nulle est un cas particulier de différentielle totale, montrant que le changement de variables est canonique. Etant
indépendant du temps, ce changement de variables ne modifie pas la valeur de l’hamiltonien.
Exemple 2 : Etant données trois variables (l, g, h) et leurs conjuguées (L, G, H), on voudrait que x 1 = L,
x 2 = L − G et x 3 = G − H soient des nouvelles variables ; comment déterminer (y 1 , y 2 , y 3 ) pour que ces
variables soient canoniquement les conjuguées de (x 1 , x 2 , x 3 ) ?
Pour que ce changement de variables soit canonique, faisons en sorte que (2.26) soit vérifié :
−ldL − gdG − hdH − y 1 dx 1 − y 2 dx 2 − y 3 dx 3 = 0
c’est-à-dire
ldL + gdG + hdH + y 1 dL + y 2 (dL − dG) + y 3 (dG − dH) = 0
En identifiant à zéro les coefficients de dL, dG et dH, on en déduit :
⎧
⎧
⎨ l + y 1 + y 2 = 0
⎨ y 1 = −(l + g + h)
g − y 2 + y 3 = 0 =⇒
y 2 = l + g
⎩
⎩
h − y 3 = 0
y 3 = h
Donc, la transformation (l, g, h, L, G, H) ↦→ (L, L − G, G − H, −l − g − h, g + h, h) est canonique
(2.28)
9. Fonctions génératrices de transformations canoniques
Si l’on se donne un changement de variables sous la forme des 2n relations (2.13), on peut savoir s’il est
canonique en calculant les crochets de Lagrange de cette transformation (théorème 1). Cependant, s’il est facile
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