Cours de Mécanique céleste classique

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une fonction J 0 . Par exemple, dans le développement de cos nE, le terme prépondérant est celui en cos kM avec
k = n puisqu’alors, dans son coefficient, J k−n (ke) s’identifie à J 0 (ne) ; ce terme est d’ordre 0 en excentricité. On
remarque aussi que les termes “voisins” de ce terme, c’est-à-dire les termes en cos(n − 1)M et en cos(n + 1)M
contiennent les fonctions J −1 et J 1 respectivement ; ils sont donc d’ordre 1 en excentricité. Plus généralement,
les termes situés à la “distance” p de cos nM, c’est-à-dire les termes en cos(n−p)M et cos(n+p)M, contiennent
J −p et J p respectivement, et sont donc d’ordre p en excentricité. On a la même propriété avec les termes voisins
de sin nM dans le développement de Fourier de sin nE.
On dira qu’une série de Fourier vérifie la propriété de d’Alembert de rang n, si le terme prépondérant de cette
série correspond à l’harmonique n. Les développements de cos nE et de sin nE vérifient donc la propriété de
d’Alembert de rang n.
Ainsi, d’une façon générale, une série de Fourier vérifiant la propriété de d’Alembert de rang n est de la forme
suivante :
A n (e, M) =
+∞∑
k=−∞
e |n−k| a k (e) exp ikM
Exercice où a k (e) est d’ordre 0 en excentricité. On pourra s’assurer que les développements en série de Fourier de r/a,
de a/r, de E − M et de w − M vérifient la propriété de d’Alembert de rang zéro, tandis que ceux de a r cos w et
de a r sin w vérifient celle de rang 1.
Propriété : Si l’on fait le produit de deux séries de Fourier vérifiant,l’une, la propriété de d’Alembert de rang
n, et l’autre, celle de rang m, le résultat est une série de Fourier vérifiant la propriété de d’Alembert de rang
(n + m).
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