Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 23.3.0 • Page 305 de 396
Remarque. Le premier terme du second membre de l’équation (6.11) représente une accélération képlérienne :
Alors, si l’on peut trouver des situations où, dans l’équation relative à chaque P k , les autres termes restent petits
devant ce premier terme, on pourra traiter le problème des N corps comme N −1 problèmes képlériens perturbés.
Concernant le mouvement autour de G, dans le second membre de l’équation (6.8), on pourrait aussi mettre en
évidence un terme képlérien en −µu k /|u k | 3 , mais au prix de développements assez lourds (développements en
puissances des rapports de masses m i
m 0
à condition que ces rapports soient petits par rapport à 1).
23.3. Equations exprimées en fonction du gradient d’un potentiel
On peut exprimer les équations du mouvement absolu des N corps en fonction de leur énergie potentielle U,
explicitée en (6.6). Les équations (6.1) peuvent en effet s’écrire aussi sous la forme :
m k
d 2 u k
dt 2 = −grad k U pour k = 0, . . . , n (6.12)
où la notation grad k U signifie que l’on prend le gradient de U au point P k ; autrement dit, si (x k , y k , z k )
désignent les coordonnées cartésiennes de P k (ou composantes de u k ), on a :
grad k U = ∂U ( ∂U
= , ∂U , ∂U )
∂u k ∂x k ∂y k ∂z k
Etant donnée l’expression de U en fonction de ces coordonnées :
∑n−1
U = −
n∑
j=0 i=j+1
Km i m j
[(x i − x j ) 2 + (y i − y j ) 2 + (z i − z j ) 2 ] 1/2 (6.13)
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