Cours de Mécanique céleste classique

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21.5. Exemple d’application des équations de Lagrange
Reprenons l’exemple donné en (5.31) relatif au satellite perturbé par le terme en J 2 du potentiel de gravitation Pb11
de sa planète. La fonction U J2 correspondante, exprimée en coordonnées sphériques r, α, δ dans le repère galiléen
Pb17
considéré, est donc :
a 2 (
e 3
U J2 = −µ J 2
r 3 2 sin2 δ − 1 )
2
Il s’agit d’abord d’exprimer U J2 en fonction des éléments osculateurs a, e, i, Ω, ω et M. En utilisant la première
des relations (5.30), on obtient :
a 2 (
e a
) 3 ( 3
U J2 = −µ J 2
a 3 r 4 sin2 i − 1 2 − 3 4 sin2 i cos(2ω + 2w))
(5.53)
Il reste à exprimer a/r et w en fonction de e et de M, c’est-à-dire à développer ces quantités en séries de Fourier
par rapport à M, avec des coefficients fonctions de e. On a déjà vu ces développements dans la partie 3 en
(3.146), associés aux coefficients de Hansen ; en effet, il suffit ici de prendre les développements de (a/r) 3 , de
(a/r) 3 cos 2w et de (a/r) 3 sin 2w. Avec la définition des coefficients de Hansen rappelée en (5.40), on obtient :
Pb9
a 2 { (1
e
U J2 (a, e, i, Ω, ω, M) = µ J 2
a 3 2 − 3 ) (
4 sin2 i X −3,0
0 (e) + 2
+ 3 (
4 sin2 i X −3,2
0 (e) cos 2ω +
+
∞∑
k=1
∞∑
k=1
∞∑
k=1
)
X −3,0
k
(e) cos kM
)}
X −3,−2
k
(e) cos(2ω − kM)
X −3,2
k
(e) cos(2ω + kM)
(5.54)
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