Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.4.3 • Page 200 de 396
15.4.3. Développement du potentiel de gravitation
Finalement, le développement du potentiel de gravitation d’un corps quelconque en un point P extérieur à ce
corps et exprimé en fonction des coordonnées sphériques de P , admet la forme générale suivante :
U 2 (r, λ, ϕ) = K
∞∑ n∑
n=0 p=0
1
r
n+1
P
(p)
n (sin ϕ) [c np cos pλ + s np sin pλ] (4.24)
où les coefficients c np et s np dépendent de la répartition des masses dans ce corps. La convergence de ce développement
n’est pas toujours assurée si r est trop petit ; cela peut dépendre de la forme du corps. Il convient en
fait très bien pour représenter le potentiel de gravitation des planètes ou des satellites dont la forme est voisine
d’une sphère ; le développement converge alors généralement jusqu’à la surface du corps.
Si la répartition de matière a la symétrie sphérique autour de O, le développement doit se réduire à un seul
terme : seul c 00 est non nul et vaut M.
Si la répartition de matière admet la symétrie de révolution autour d’un axe, en choisissant Ok suivant cet
axe, la coordonnée λ mesure alors une longitude autour de l’axe de révolution, et donc le potentiel, qui admet la
même symétrie de révolution, ne doit pas dépendre de λ. Seul les coefficients c n = c n0 sont alors différents de
zéro et le potentiel est de la forme :
U 2 (r, −, ϕ) =
∞∑
n=0
c n
P n (sin ϕ)
r n+1 (4.25)
Si, en plus de la symétrie de révolution, le corps admet un plan de symétrie perpendiculaire à l’axe de révolution,
le centre de masse G est situé à l’intersection de ce plan et de cet axe ; en prenant O en G, le plan Oij dans
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