Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 11.2.0 • Page 95 de 396
• L’autre découle de l’équation :
¨r ∧ G = − µ 2
u ∧ (r ∧ ṙ)
r
d(ṙ ∧ G)
soit :
= − µ u ∧ [u ∧ (ṙu + r ˙u)] = µ ˙u
dt r
d’où l’existence d’un vecteur e constant (intégrale de Laplace) :
ṙ ∧ G
µ
− u = e vecteur constant (3.8)
Ce vecteur e n’est cependant pas tout-à-fait arbitraire car il doit manifestement vérifier : e · G = 0, et donc,
si G est non nul, e appartient au plan du mouvement. Si on fait tendre G vers zéro, cette expression tend vers
u = −e ; donc u est fixe et le mouvement est rectiligne, porté par la droite fixe de direction u = −e.
Bien sûr, il suffit de connaître la position et la vitesse de P à un instant quelconque pour en déduire la valeur
des constantes h, G et e.
11.2. Trajectoire du mouvement képlérien
En projetant (3.8) sur u et sachant que (ṙ ∧ G) · r = (r ∧ ṙ) · G = G 2 , on obtient une relation entre r et u qui
définit la trajectoire de P :
r (1 + e · u) = G2
(3.9)
µ
Toutefois, si G = 0, cette relation est seulement une identité. Autrement, G étant constant, (3.9) montre que si e
est non nul, la distance r passe par un minimum q chaque fois que la direction de u vient coïncider avec celle
de e. Le vecteur e est ainsi dirigé vers le point de distance minimum, appelé péricentre.
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