Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 26.1.3 • Page 378 de 396
plus en plus élevé. D’une façon générale, on trouverait que les parties séculaires de la solution d’ordre k sont
des polynômes du temps de degré k, et que les parties mixtes résultent du produit de termes périodiques par des
polynômes du temps de degré k − 1. Les inégalités périodiques d’ordre k sont alors des combinaisons linéaires
entre k + 1 longitudes moyennes. Ces combinaisons peuvent engendrer de nouveaux petits diviseurs auxquels
correspondent de nouveaux termes à longue période qui peuvent parfois être aussi importants que ceux trouvés à
l’ordre 1. Par exemple, on trouve à l’ordre 2 que l’inégalité (4L T − 8L M + 3L J ) entre les longitudes de la Terre,
de Mars et de Jupiter a une période de 1760 ans ; elle engendre un terme de 52 ′′ , 8 d’amplitude dans la longitude
de Mars et de 6 ′′ , 3 dans celle de la Terre (soit quatre fois l’amplitude de l’inégalité (8L V − 13L T ) déjà trouvée
à l’ordre 1). D’ailleurs les termes mixtes qui sont significatifs dans la solution finale (c’est-à-dire donnant une
contribution non négligeables au bout de 1000 ans par exemple), sont pour la plupart relatifs aux inégalités à
longue période, tels la grande inégalité entre Jupiter et Saturne. Par exemple, voici l’expression qu’on obtient à
l’ordre 2 pour la grande inégalité dans la longitude moyenne de Saturne :
ɛ 2 L 2S = (−51 ′′ ,50 + 0 ′′ , 8221 t) cos (2L J − 5L S )
+ ( 240 ′′ ,72 − 0 ′′ , 1781 t) sin (2L J − 5L S )
(6.148)
Dans la solution finale, la partie périodique de ces termes vient s’ajouter à ceux d’ordre 1 donnés en (6.140) ;
d’ailleurs, les solutions d’ordre supérieur à 2 apportent encore d’autres termes analogues à ceux donnés en
(6.148), et on constate que généralement l’expression des termes mixtes associés aux termes à longue période
converge assez lentement au fur et à mesure que l’ordre de la solution augmente ; par exemple, dans la longitude
de Saturne, la grande inégalité est donnée jusqu’à l’ordre 5 par l’expression :
(346 ′′ ,16+1127 ′′ ,85 T − 89 ′′ ,81 T 2 − 28 ′′ , 38 T 3 + 2 ′′ , 24 T 4 ) cos (2L J − 5L S )
+(2896 ′′ ,37− 286 ′′ ,62 T − 222 ′′ ,58 T 2 + 17 ′′ , 00 T 3 + 2 ′′ , 58 T 4 ) sin (2L J − 5L S )
(6.149)
On pourra juger la convergence en comparant cette expression avec celle donnée aux ordres 1 et 2 [dans (6.149),
T est exprimé en milliers d’années juliennes à partir de J2000].
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