Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 22.2.2 • Page 293 de 396
22.2.2. Elimination des termes à longue période : méthode de Brouwer
Dans le cas où l’hamiltonien H ′ (x ′ , y ′ ) a la forme particulière (5.114), on peut appliquer de nouveau les
principes de la méthode de Von Zeipel pour éliminer cette fois les termes à longue période, c’est-à-dire ceux
dépendant de y ′ 2 et y ′ 3. Cependant il faut alors modifier légèrement la façon de faire les identifications ordre par
ordre car les variations de y ′ 2 et y ′ 3 sont au moins d’ordre 1 en ε : jusqu’à l’ordre 1, on peut en effet écrire les
équations d’Hamilton :
dy ′ 2
dt = −ε∂S′(1)
∂x ′ 2
dy ′ 3
dt = −ε∂S′(1)
∂x ′ 3
= εn 1 2(x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3)
= εn 1 3(x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3)
(5.117)
où les x ′ i sont constants puisqu’on a aussi, à cet ordre, dx′ i
dt
éliminer n’interviennent dans H ′ qu’à partir de l’ordre 2.
= 0. Les termes à longue période que l’on veut
On cherche donc un nouveau changement de variables (x ′ , y ′ ) ↦→ (x ′′ , y ′′ ), par l’intermédiaire d’une fonction
génératrice G ′ (x ′′ , y ′ ) telle que l’on ait :
x ′ · dy ′ + y ′′ · dx ′′ = dG ′
On va montrer que l’on peut déterminer G ′ de telle sorte que le nouvel hamiltonien H ′′ soit égal à l’ancien et ne
dépende plus d’aucune des variables angulaires :
H ′′ (x ′′
1, x ′′
2, x ′′
3, −, −, −) = H ′ (x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3, −, y ′ 2, y ′ 3) (5.118)
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