Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 21.1.0 • Page 241 de 396
21. Cas où F dérive d’un potentiel : F = grad P U
On peut envisager deux façons d’obtenir les variations des éléments osculateurs : la première consiste à
utiliser les équations de Gauss en exprimant d’abord les composantes du gradient dans la base correspondant
aux coordonnées utilisées pour repérer P , puis en projetant ces composantes dans la base locale uvk de façon à
obtenir R, S et W ; il reste alors à exprimer ces composantes en fonction des éléments osculateurs. La deuxième
consiste à exprimer d’abord U en fonction des éléments osculateurs, puis à écrire de nouvelles équations, issues
de la formulation hamiltonienne et qui expriment les variations de ces éléments en fonction du gradient de U
dans l’espace K µ des éléments osculateurs.
21.1. Utilisation des équations de Gauss
On va supposer que U est exprimé en fonction des coordonnées sphériques (r, α, δ) de P dans le repère
R 0 = Oi 0 j 0 k 0 . Les éléments osculateurs considérés sont les mêmes que ceux définis en §5-20.2, avec notamment
les angles d’Euler Ω, i et ω + w entre R 0 et le repère Ouvk mobile avec P . Dans la base locale des coordonnées
sphériques en P , notée ici uv 1 w 1 , les composantes du gradient sont données par les expressions :
R = ∂U
∂r
S 1 = 1
r cos δ
∂U
∂α
Si β désigne l’angle entre v 1 et v (ou entre w 1 et k), on a alors :
W 1 = 1 r
∂U
∂δ
S = S 1 cos β + W 1 sin β et W = −S 1 sin β + W 1 cos β (5.29)
Pour exprimer R, S et W en fonction des éléménts osculateurs, il faut notamment d’établir les relations entre α,
δ, β et les éléments képlériens Ω, i et ω + w.
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