Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 12.2.2 • Page 123 de 396
12.2.2. Application de la méthode d’Hamilton-Jacobi
Notre but est maintenant de trouver la fonction génératrice G 2 d’un changement de variables canoniques :
(r, ψ, Ω, R, G, Θ) −→ (x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 , y 3 )
tel que le nouvel hamiltonien H ′ soit nul, les nouvelles variables étant alors toutes des constantes. En fait, on
a vu que pour un système conservatif (H constant), on peut, de manière équivalente, faire en sorte que H ′ ait
la même valeur que H en identifiant H ′ à l’un des moments, y 1 par exemple, lui-même égal à l’énergie h du
système. Alors, avec H ′ = y 1 = H = h, toutes les variables x i et y i sont constantes, sauf x 1 qui s’identifie au
temps puisqu’alors dx 1
=
dt
∂H′ = 1. Dans ces conditions, la fonction génératrice G
∂y 2 recherchée ne doit pas
1
dépendre explicitement du temps ; G 2 (r, ψ, Ω, y 1 , y 2 , y 3 ) doit seulement vérifier :
dG 2 = Rdr + Gdψ + ΘdΩ + x 1 dy 1 + x 2 dy 2 + x 3 dy 3
= ∂G 2
∂r dr + ∂G 2
∂ψ dψ + ∂G 2
∂Ω dΩ + ∂G 2
∂y 1
dy 1 + ∂G 2
∂y 2
dy 2 + ∂G 2
∂y 3
dy 3
(3.64)
et H ′ − H = 0, soit encore l’équation d’Hamilton-Jacobi :
[
y 1 − 1 (∂G2 ) 2
+ 1 ( ) ] 2 ∂G2
2 ∂r r 2 + µ ∂ψ r = 0
Comme les variables ψ, Ω et Θ n’apparaissent pas explicitement dans H, leurs variables conjuguées respectives
G, Θ et Ω sont des constantes du mouvement et on peut choisir une fonction génératrice qui engendre une
identité en ce qui concerne ces variables constantes. Prenant ainsi :
G 2 = ψy 2 + Ωy 3 + S(r, −, −, y 1 , y 2 , −) (3.65)
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