Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.5.1 • Page 206 de 396
15.5. Potentiel de gravitation des planètes
15.5.1. Potentiel approché : planètes sphéroïdales
Les corps non ponctuels que l’on considère en Mécanique Céleste sont essentiellement les planètes que l’on
assimile le plus souvent à des sphéroïdes solides et en rotation autour d’un axe (rappelons qu’un sphéroïde est
un corps possédant un axe de révolution et un plan de symétrie orthogonal à cet axe) ; l’axe de révolution est
souvent très proche de l’axe de rotation, et le plan de symétrie est appelé plan équatorial de la planète. Il s’agit
donc d’un cas particulier de corps ayant 3 plans de symétrie orthogonaux 2 à 2, mais cette fois, si le repère Oijk
respecte les symétries, le potentiel ne dépend pas de λ. En désigant par a e le rayon équatorial de la planète, le
potentiel est alors souvent présenté sous la forme suivante :
U(r, −, ϕ) = KM r
(
a 2 e
1 − J 2
r 2 P a 4 e
2(sin ϕ) − J 4
r 4 P 4(sin ϕ) −
a 2n
e
· · · − J 2n
r 2n P 2n(sin ϕ) − · · ·
) (4.30)
Les coefficients J 2n sont sans dimension ; par exemple : J 2 = C − A . Dans les applications, r est la distance du
point P au centre de la planète : cette distance est généralement bien supérieure à a e . Comme on le verra plus loin,
la quasi-sphéricité des planètes fait que les coefficients J 2 , J 4 , etc. sont très petits, J 2 étant en outre prépondérant
sur tous les autres. Si en plus le rapport a e /r est petit, les termes du développement (4.30) décroissent rapidement
et on peut se contenter le plus souvent des 2 ou 3 premiers termes.
Cependant, les valeurs de J 2 , J 4 , etc. ne sont pas évidentes à déterminer avec précision car, ne connaissant
pas la répartition des masses à l’intérieur des planètes, on ne peut pas calculer les moments d’inertie par des
Ma 2 e
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