Cours de Mécanique céleste classique

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nul. Donc, globalement, le flux sortant de toute surface contenant une masse m vaut −4πKm. Ce flux ne dépend
pas de la position de m à l’intérieur de S.
On peut généraliser cette propriété au cas de plusieurs masses m i placées en des points distincts O i : Chaque
m i engendre un champ de gravitation dont le flux sortant est nul à travers toute surface ne contenant pas O i , et
dont le flux est égal à −4πKm i à travers toute surface contenant ce point. L’ensemble de ces masses crée un
champ de gravitation égal à la somme des champs engendrés par chaque masse. Le flux de ce champ résultant
sortant d’une surface ne contenant aucune des masses est donc nul, et celui qui sort d’une surface contenant une
ou plusieurs de ces masses ne dépend que de ces masses et non de leur position à l’intérieur de cette surface. On
en déduit encore que le champ de gravitation d’une ou plusieurs masses ponctuelles est à flux conservatif partout
sauf aux points O i
15.1.3. Conséquence
En appliquant l’opérateur “divergence” à l’opérateur “gradient”, on obtient un opérateur appelé Laplacien et
noté ∆ :
∆U = div grad U
Suivant que P est repéré en coordonnées cartésiennes ou sphériques, on utilisera le Laplacien en coordonnées
cartésiennes :
∆U 1 (x, y, z) = ∂2 U 1
∂x 2 + ∂2 U 1
∂y 2 + ∂2 U 1
∂z 2 (4.7)
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