Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 26.1.2 • Page 371 de 396
On constate donc qu’à l’ordre 1 les solutions A 1 et L 1 ne comportent que des termes périodiques, tandis que
X 1 et Z 1 ont en plus un polynôme de degré 1 en t.
Les termes proportionnels au temps représentent les variations dites séculaires des variables z k et ζ k ; en effet,
pour les planètes, ces variations sont de l’ordre de ɛn 0k , c’est-à-dire mille fois plus lentes que les moyens
mouvements en considérant ɛ ≈ 10 −3 ; comme les périodes des planètes sont de l’ordre de plusieurs années
voire plusieurs décennies ou quelques siècles, les variations linéaires de ces éléments d’orbite sont extrêmement
lentes, d’où le qualificatif “séculaires” qui leur a été donné. Bien sûr, correspondant aux z k et ζ k , les excentricités
et inclinaisons et les longitudes des nœuds et des périhélies comportent eux aussi des variations séculaires
proportionnelles au temps, et donc les excentricités et inclinaisons peuvent croître au delà de toute limite ; ce
grave défaut n’est cependant pas très génant pour les planètes, car les variations séculaires de leurs éléments ne
dépassent pas quelques dizaines de secondes par an : On peut alors utiliser quand même une telle solution sur
une durée de l’ordre du millénaire. Au contraire, pour des satellites, une variation mille fois plus lente que leurs
mouvements orbitaux (qui ont généralement des périodes de l’ordre de quelques jours) entraîne des variations
séculaires dont les effets deviennent prohibitifs au bout de quelques dizaines d’années seulement ; pour eux, c’est
plutôt la théorie générale développée plus loin qu’il faut appliquer.
Quant aux termes périodiques d’ordre 1, ce sont des fonctions quasi-périodiques de t, c’est-à-dire des sommes
de termes ayant chacun une période différente et dont la fréquence résulte de combinaisons entières de plusieurs
fréquences données. Ils ont la même forme qu’en (6.118b), avec des arguments périodiques dépendant de une
ou de deux longitudes ; les inégalités périodiques correspondantes, p k L 0k + p i L 0i , sont les fonctions linéaires du
temps : (p k n 0k +p i n 0i ) t+ C te . Leur intégration fait alors intervenir le diviseur p k n 0k +p i n 0i (ou son carré lorsqu’il
y a double intégration), mais il faut que ce diviseur ne soit pas nul ! Ce serait le cas si l’on avait p k
p i
= − n 0i
n 0k
. Or,
on sait bien que tout nombre réel de précision limitée tel que n 0i
n 0k
peut être représenté par un nombre rationnel.
Les termes correspondant à un diviseur nul sont en fait constants ; ils s’intégreraient simplement sous forme
d’un terme proportionnel au temps. Cependant, ces termes correspondent généralement à des entiers p k et p i
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