Cours de Mécanique céleste classique

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15.4.2. Propriétés des fonctions de Legendre
Les fonctions associées de Legendre interviennent dans les développements en puissances de t suivants :
1
√ = ∑ ∞
P n (s) t n (4.19)
1 − 2st + t
2
n=0
(2p)!(1 − s 2 ) p/2 t p
2 p p! (1 − 2st + t 2 ) = ∑ ∞
P (p)
p+1/2 n (s) t n (4.20)
Les expressions des membres de gauche sont les fonctions génératrices des fonctions de Legengre. On peut
vérifier en effet, en dérivant deux fois ces expressions par rapport à s et par rapport à t, que les coefficients de t n
vérifient l’équation différentielle (4.16) pour tout n. On déduit aussi, par dérivation de ces fonctions génératrices,
que les fonctions de Legendre vérifient les relations de récurrence suivantes :
Dev4.3.1
n=p
(n + 1 − p) P n+1(s) (p) − (2n + 1) s P n
(p) (s) + (n + p) P n−1(s) (p) = 0 (4.21)
P n
(p+2) 2(p + 1) s
(s) − √
1 − s
2
P n
(p+1) (s) + (n − p)(n + p + 1) P n (p) (s) = 0 (4.22)
Il suffit donc de connaître P 0 , P 1 , P (1)
0 et P (1)
1 pour en déduire tous les autres P n
(p) . En fait, ces 4 fonctions peuvent
être aisément calculées par l’expression (4.17) ; on obtient :
P (0)
0 (s) = 1 P (1)
0 (s) = 0 P (0)
1 (s) = s P (1)
1 (s) = √ 1 − s 2
puis les autres fonctions P (p)
n (s) par récurrence ; celles dont on pourra avoir besoin sont présentées dans le
Tableau 4.
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