Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 9.1.0 • Page 82 de 396
2. La fonction G 1 = ∑ i q ix i inverse le rôle des variables et de leur conjuguées puisqu’on a :
p i = ∂G 1
= x i ; y i = − ∂G 2
∂q i ∂x i
Notons cependant le changement de signe pour les y i .
= −q i
9.1. Résolution par la méthode d’Hamilton-Jacobi
Cette méthode propose de résoudre (si c’est possible) l’équation (2.34) dans le cas où l’on souhaite que
le nouvel hamiltonien H ′ soit nul. La fonction génératrice G 2 doit donc satisfaire l’équation dite d’Hamilton-
Jacobi :
H(q i , ∂G 2
, t) + ∂G 2
= 0 (2.35)
∂q i ∂t
où G 2 doit dépendre des (q j , y j , t). Mais, comme on suppose H ′ (x j , y j , t) = 0, les nouvelles variables, solutions
des équations d’Hamilton :
ẋ j = ∂H′ = 0 et ẏ j = − ∂H′ = 0
∂y j ∂x j
sont des constantes :
x j = α j et y j = β j pour j = 1 · · · n (2.36)
Avec ces nouvelles “variables” x j et y j , si l’on peut trouver une fonction G 2 qui soit solution de (2.35), le
problème de l’intégration des équations canoniques est donc complètement résolu, et le retour aux anciennes
variables peut se faire grâce aux 2n équations :
[ ]
∂G2 (q j , y j , t)
p i =
(2.37)
∂q i y j =β j
Pb4
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