Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 13.7.0 • Page 170 de 396
dans (3.133) et (3.135)]. On trouve :
( e n ∑ ∞ ( e
) 2i
q n (2i + n − 1)!
= n
2)
2 i! (n + i)!
i=0
(3.138)
Exercice
Pour appliquer le théorème de Lagrange à l’équation de Kepler, il faut donc rechercher le contour défini par
|e sin E| ≤ |E − M| pour e et M fixés, puis le contour “le plus grand” convenant à toutes les valeurs de M dans
l’intervalle réel [0, 2π].
Supposant E complexe et M réel, posons E = M + ρ exp iθ où les réels ρ et θ (avec ρ ≥ 0) définissent un
complexe quelconque ; on a alors |E − M| = ρ, et :
On en déduit :
sin E = sin(M + ρ cos θ + iρ sin θ)
= sin(M + ρ cos θ) cosh(ρ sin θ) + i cos(M + ρ cos θ) sinh(ρ sin θ)
| sin E| 2 = sin 2 (M + ρ cos θ) cosh 2 (ρ sin θ) + cos 2 (M + ρ cos θ) sinh 2 (ρ sin θ)
= cosh 2 (ρ sin θ) − cos 2 (M + ρ cos θ)
Pour avoir |e sin E| = e| sin E| ≤ ρ, il suffit que l’on ait e ≤
maximum de | sin E|, c’est-à-dire aux conditions :
ρ
. Le cas le plus défavorable correspond au
| sin E|
|ρ sin θ| maximum et M + ρ cos θ = ± π 2
soit :
{
θ = ±π/2
M = ±π/2
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